如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD是斜边BC上的中线，将三角尺的直角顶点置于中线AD上点P处，三角尺的两条直角边分别交AB、AC边于点E、F．求证：PE=PF．

Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD是斜边BC上的中线，将三角尺的直角顶点置于中线AD上点P处，三角尺的两条直角边分别交AB、AC边于点E、F．求证：PE=PF．

Answer 1

证明：
过点P作PK∥BC交AB于点K，如图，
∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是斜边BC上的中线，
∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°，
∴∠EKP=∠B=∠BAP=∠PAF=45°，
∴AP=PK，
∵∠EPF=∠KPA=90°，
∴∠EPK+∠EPA=∠EPA+∠FPA，
∴∠EPK=∠FPA，
在△AFP和△KEP中

∠FAP=∠EKP

AP=KP

∠FPA=∠EPK

∴△AFP≌△KEP（ASA），
∴PE=PF．