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设数列{an}的前n项和为Sn,已知2Sn+1=Sn+λ(n∈N*,λ为常数),a1=2,a2=1.(1)求数列{an}的通项公式设数列{an}的前n项和为Sn,已知2Sn+1=Sn+λ(n∈N*,λ为常数),a1=2,a2=1.(1)求数列{an}的通
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设数列{an}的前n项和为Sn,已知2Sn+1=Sn+λ(n∈N*,λ为常数),a1=2,a2=1.(1)求数列{an}的通项公式
设数列{an}的前n项和为Sn,已知2Sn+1=Sn+λ(n∈N*,λ为常数),a1=2,a2=1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求所有满足等式
=
成立的正整数m,n.
设数列{an}的前n项和为Sn,已知2Sn+1=Sn+λ(n∈N*,λ为常数),a1=2,a2=1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求所有满足等式
Sn?m |
Sn+1?m |
1 |
am+1 |
▼优质解答
答案和解析
(1)由题意,得2S2=S1+λ,求得λ=4.
所以,2Sn+1=Sn+4①
当n≥2时,2Sn=Sn-1+4②
①-②,得an+1=
an(n≥2),又a2=
a1,
所以数列{an}是首项为2,公比为
的等比数列.
所以{an}的通项公式为an=(
)n?2(n∈N*).
(2)由(1),得Sn=4(1?
),
由
=
,得1+
=1+am,化简得
=
,
即(4-m)2n-4=2m-1,即(4-m)2n=4+2m-1.(*)
因为2m-1+4>0,所以(4-m)?2n>0,所以m<4,
因为m∈N*,所以m=1或2或3.
当m=1时,由(*)得3×2n=5,所以无正整数解;
当m=2时,由(*)得2×2n=6,所以无正整数解;
当m=3时,由(*)得2n=8,所以n=3.
综上可知,存在符合条件的正整数m=n=3.
所以,2Sn+1=Sn+4①
当n≥2时,2Sn=Sn-1+4②
①-②,得an+1=
1 |
2 |
1 |
2 |
所以数列{an}是首项为2,公比为
1 |
2 |
所以{an}的通项公式为an=(
1 |
2 |
(2)由(1),得Sn=4(1?
1 |
2n |
由
Sn?m |
Sn+1?m |
1 |
am+1 |
an+1 |
Sn?m |
2 |
(4?m)2n?4 |
4 |
2m |
即(4-m)2n-4=2m-1,即(4-m)2n=4+2m-1.(*)
因为2m-1+4>0,所以(4-m)?2n>0,所以m<4,
因为m∈N*,所以m=1或2或3.
当m=1时,由(*)得3×2n=5,所以无正整数解;
当m=2时,由(*)得2×2n=6,所以无正整数解;
当m=3时,由(*)得2n=8,所以n=3.
综上可知,存在符合条件的正整数m=n=3.
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