几何证明圆O为三角形abc的外接圆,圆O1分别与AB,AC相切于点D,E,与圆O内切于点P.求证:DE的中点M为三角形ABC的内心.

Question

几何证明
圆O为三角形abc的外接圆,圆O1分别与AB,AC相切于点D,E,与圆O内切于点P.求证:DE的中点M为三角形ABC的内心.

Answer 1

∵AD=AE,M为DE中点,连接AM并延长交圆O于点N,则O1在MN上
连接BM,BN,O1D,再记圆O半径为R,圆O1半径为r,∠A=2a,则
显然AN平分∠BAC,∴BN=2Rsina,而O1M=O1Dsin∠O1DM,
∵O1D⊥PD,DM⊥AO1,∴∠O1DM=∠DAM=a,∴O1M=rsina,
连接OO1并两边延长交圆O于P,Q,则NO1·AO1=PO1·QO1=r(2R-r)
∴NO1=r(2R-r)/AO1,而AO1=O1P/sina=r/sina,∴NO1=(2R-r)sina
∴NM=NO1+O1M=(2R-r)sina+rsina=2Rsina=BN,∴∠NBM=∠NMB
而∠NBM=∠NBC+∠MBC=∠NAC+∠MBC=a+∠MBC
∠NMB=∠BAM+∠MBA=a+∠MBA,∴∠MBC=∠MBA,即BM平分∠ABC
而AM平分∠BAC,∴M为△ABC的内心