如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点

Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，设两动点运动时间为t秒．
（1）求出当t=1秒时点P的坐标；
（2）当t为何值时，△MPA的面积为1.5；
（3）当△MPA为等腰三角形时，求出此时两动点运动的时间．

Answer 1

（1）∵四边形OABC为矩形，
∴∠ABC=∠AOC=90°，OA=BC，AB=OC．
∵A、B的坐标分别为（4，0），（4，3），
∴OA=BC=4，AB=OC=3．
∴tan∠ACB=tan∠OAC=(PN)/(CN)=(3)/(4)．
当t=1时，BN=1，
∴CN=3，
∴(PN)/(3)＝(3)/(4)，
∴PN=(9)/(4)，
∴P（3，(3)/(4)）；

（2）∵AM=4-t，PE=(3)/(4)t，
∴(1)/(2)（4-t）•(3)/(4)t=1.5，
∴t=2；

（3）延长NP交OA于点E，
∵NP⊥BC，
∴NP⊥OA．
如图2，当PM=PA时，
∴AE=ME=NP．
∵OM=NP，
∴OM=ME=AE，
∴OM=(1)/(3)OA，
∴OM=(4)/(3)，
∴t=(4)/(3)÷1=(4)/(3)秒；
如图3，当AP=AM时，
∴PE=(3)/(4)t，
在Rt△APE中，由勾股定理得：
PA=(5)/(4)t，
AM=4-t，
∴(5)/(4)t=4-t，
解得：t=(16)/(9)；
如图4，当PM=AM时，
PE=(3)/(4)t，OE=4-t，OM=t，AM=4-t
∴ME=2t-4，在Rt△PEM中，由勾股定理，得
PM²=（2t-4）²+（(3)/(4)t）²，
∴，（2t-4）²+（(3)/(4)t）²=（4-t）²，
解得：t₁=0（舍去），t₂=(128)/(57)，
综上所述：当t=(4)/(3)，(16)/(9)或(128)/(57)时，△MPA为等腰三角形．