已知一次函数y＝−34x+6的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E．（1）求点B的坐标；（2）求直线AE的表达式；（3）过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状

Question

已知一次函数y＝−(3)/(4)x+6的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E．

（1）求点B的坐标；
（2）求直线AE的表达式；
（3）过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积．
（4）若将已知条件“AE平分∠BAO，交x轴于点E”改变为“点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F．设OE=x，BF=y，试求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域．

Answer 1

（1）对于y=-(3)/(4)x+6，
当x=0时，y=6；当y=0时，x=8，
∴OA=6，OB=8，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB=10，
则A（0，6），B（8，0）；

（2）过点E作EG⊥AB，垂足为G（如图1所示），
∵AE平分∠BAO，EO⊥AO，EG⊥AG，
∴EG=OE，
在Rt△AOE和Rt△AGE中，

AE＝AE

EO＝EG

，
∴Rt△AOE≌Rt△AGE（HL），
∴AG=AO，
设OE=EG=x，则有BE=8-x，BG=AB-AG=10-6=4，
在Rt△BEG中，EG=x，BG=4，BE=8-x，
根据勾股定理得：x²+4²=（8-x）²，
解得：x=3，
∴E（3，0），
设直线AE的表达式为y=kx+b（k≠0），
将A（0，6），E（3，0）代入y=kx+b得：

b＝6

3k+b＝0

，
解得：

b＝6

k＝−2

，
则直线AE的表达式为y=-2x+6；

（3）延长BF交y轴于点K（如图2所示），
∵AE平分∠BAO，
∴∠KAF=∠BAF，
又BF⊥AE，
∴∠AFK=∠AFB=90°，
在△AFK和△AFB中，
∵

作业帮用户 2017-09-19

问题解析

（1）对于一次函数y=-(3)/(4)x+6，令y=0和x=0求出对应的x与y的值，确定出OA及OB的长，即可确定出B的坐标；
（2）由（1）得出A的坐标，利用勾股定理求出AB的长，过E作EG垂直于AB，由AE为角平分线，利用角平分线定理得到EO=EG，利用HL可得出直角三角形AOE与直角三角形AGE全等，可得出AO=AG，设OE=EG=x，由OB-OE表示出EB，由AB-AG=AB-AO表示出BG，在直角三角形BEG中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出OE的长，得出E的坐标，设直线AE的解析式为y=kx+b（k≠0），将A和E的坐标代入，得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，即可得到直线AE的解析式；
（3）延长BF与y轴交于K点，由AF为角平分线得到一对角相等，再由AF与BF垂直得到一对直角相等，以及AF为公共边，利用ASA得出三角形AKF与三角形ABF全等，可得出AK=AB，利用三线合一得到F为BK的中点，在直角三角形OBK中，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到OF为BK的一半，即OF=BF，过F作FH垂直于x轴于H点，利用三线合一得到H为OB的中点，由OB的长求出OH的长，即为F的横坐标，将求出的横坐标代入直线AE解析式中求出对应的纵坐标，即为HF的长，以OB为底，FH为高，利用三角形的面积公式即可求出三角形BOF的面积；
（4）在三角形AOE中，设OE=x，再由OA的长，利用勾股定理表示出AE，再由BE=OB-OE表示出BE，由三角形AEB的面积可以由AE为底，BF为高来求出，也可以由EB为底，OA为高来求出，两种方法表示出的面积相等列出关系式，整理后即可得到y与x的函数关系式，同时求出x的范围即为函数的定义域．

名师点评

本题考点：

一次函数综合题．

考点点评：

此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，以及三角形面积的求法，利用了转化及数形结合的思想，是一道较难的压轴题．

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