设A（1，-1），B（0，1），若直线ax+by=1与线AB（包括端点）有公共点，则a2+b2的最小值为（）A.14B.13C.12D.1

Question

设A（1，-1），B（0，1），若直线ax+by=1与线AB（包括端点）有公共点，则a²+b²的最小值为（　　）
A. (1)/(4)
B. (1)/(3)
C. (1)/(2)
D. 1

Answer 1

∵直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，
∴点A（1，-1），B（0，1）在直线ax+by=1的两侧，
∴（a-b-1）（b-1）≤0，

a−b−1≤0

b−1≥0

或

a−b−1≥0

b−1≤0

画出它们表示的平面区域，如图所示．
a²+b²表示原点到区域内的点的距离的平方，
由图可知，当原点O到直线a-b-1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，
∵d=(|−1|)/(√(2))＝(√(2))/(2)，
那么a²+b²的最小值为(1)/(2)
故选C