已知抛物线C：x2=4y．（1）若点P（x0，y0）是抛物线C上一点，求证：过点P的抛物线C的切线方程为x0x=2（y+y0）（2）点M是抛物线C准线上一点，过点M作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，求|AB|

Question

已知抛物线C：x²=4y．
（1）若点P（x₀，y₀）是抛物线C上一点，求证：过点P的抛物线C的切线方程为x₀x=2（y+y₀）
（2）点M是抛物线C准线上一点，过点M作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，求|AB|的最小值的点M的坐标．

Answer 1

（1）证明：y=(1)/(4)x²的导数为y'=(1)/(2)x，
则过点P的抛物线C的切线斜率为(1)/(2)x₀，
切线方程为y-y₀=(1)/(2)x₀（x-x₀），
即为y-y₀=(1)/(2)x₀x-(1)/(2)x₀²=(1)/(2)x₀x-2y₀，
即为过点P的抛物线C的切线方程为x₀x=2（y+y₀）；
（2）抛物线C：x²=4y的准线方程为y=-1，焦点F（0，1），
设切点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（t，-1），
又y=(1)/(4)x²的导数为y'=(1)/(2)x，
则切线MA的方程为：y-y₁=(1)/(2)x₁（x-x₁），
即y=(1)/(2)x₁x-y₁，
切线PB的方程为：y-y₂=(1)/(2)x₂（x-x₂）即y=(1)/(2)x₂x-y₂，
由M（t，-1）是MA、MB交点可知：-1=(1)/(2)x₁t-y₁，-1=(1)/(2)x₂t-y₂，
∴过A、B的直线方程为-1=(1)/(2)tx-y，
即(1)/(2)tx-y+1=0，
所以直线AB：(1)/(2)tx-y+1=0过定点F（0，1）．
则|AB|的最小值为抛物线的通径长2p=4，
此时M的坐标为（0，-1）．