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如图所示.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:4.求证:1AB+1AC=1BC.
题目详情
如图所示.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:4.求证:
+
=
.
1 |
AB |
1 |
AC |
1 |
BC |
▼优质解答
答案和解析
证明:延长AB至D,使BD=AC(此时,AD=AB+AC),又延长BC至E,使AE=AC,连接ED.
下面证明,△ADE∽△ABC.
设∠A=α,∠B=2α,∠C=4α,
则∠A+∠B+∠C=7α=180°.
由作图知,∠ACB是等腰三角形ACE的外角,
∴∠ACE=180°-4α=3α,
∴∠CAE=180°-3α-3α=7α-6α=α.
从而∠EAB=2α=∠EBA,AE=BE.
又由作图AE=AC,AE=BD,
∴BE=BD,△BDE是等腰三角形,
∴∠D=∠BED=α=∠CAB,
∴△ABC∽△DAE,
即
=
,即
=
∴
+
=
.
下面证明,△ADE∽△ABC.
设∠A=α,∠B=2α,∠C=4α,
则∠A+∠B+∠C=7α=180°.
由作图知,∠ACB是等腰三角形ACE的外角,
∴∠ACE=180°-4α=3α,
∴∠CAE=180°-3α-3α=7α-6α=α.
从而∠EAB=2α=∠EBA,AE=BE.
又由作图AE=AC,AE=BD,
∴BE=BD,△BDE是等腰三角形,
∴∠D=∠BED=α=∠CAB,
∴△ABC∽△DAE,
即
AD |
AE |
AB |
BC |
AB+AC |
AC |
AB |
BC |
∴
1 |
AB |
1 |
AC |
1 |
BC |
看了 如图所示.在△ABC中,∠A...的网友还看了以下:
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