已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点F，E，EM平∠FED，AB∥CD，H，P分别为直线AB和线段EF上的点．（1）如图1，HM平分∠BHP，若HP⊥EF，求∠M的度数．（2）如图2，EN平分∠HEF交AB于点N，NQ⊥EM于

Question

已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点F，E，EM平∠FED，AB∥CD，H，P分别为直线AB和线段EF上的点．

（1）如图1，HM平分∠BHP，若HP⊥EF，求∠M的度数．
（2）如图2，EN平分∠HEF交AB于点N，NQ⊥EM于点Q，当H在直线AB上运动（不与点F重合）时，探究∠FHE与∠ENQ的关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）如图1，作MQ∥AB，，
∵AB∥CD，MQ∥AB，
∴MQ∥CD，
∴∠1=∠FHM，∠2=∠DEM，
∴∠1+∠2=∠FHM+∠DEM=(1)/(2)（∠FHP+∠FED）=(1)/(2)（∠FHP+∠HFP），
∵HP⊥EF，
∴∠HPF=90°，
∴∠FHP+∠HFP=180°-90°=90°，
∵∠1+∠2=∠M，
∴∠M=(1)/(2)×90°=45°．

（2）①如图2，，
∠FHE=2∠ENQ，理由如下：
∠NEQ=∠NEF+∠QEF=(1)/(2)（∠HEF+∠DEF）=(1)/(2)∠HED，
∵NQ⊥EM，
∴∠NEQ+∠ENQ=90°，
∴∠ENQ=(1)/(2)（180°-∠HED）=(1)/(2)∠CEH，
∵AB∥CD，
∴∠FHE=∠CEH=2∠ENQ．

②如图3，，
∠FHE=180°-2∠ENQ，理由如下：
∠NEQ=∠QEF-∠NEF=(1)/(2)（∠DEF-∠HEF）=(1)/(2)∠HED，
∵NQ⊥EM，
∴∠NEQ+∠ENQ=90°，
∴∠ENQ=(1)/(2)（180°-∠HED）=(1)/(2)∠CEH，
∵AB∥CD，
∴∠FHE=180°-∠CEH=180°-2∠ENQ．
综上，可得
当H在直线AB上运动（不与点F重合）时，∠FHE=2∠ENQ或∠FHE=180°-2∠ENQ．