已知f（n）=1+123+133+143+…+1n3，g（n）=32-12n2，n∈N*．（1）当n=1，2，3时，试比较f（n）与g（n）的大小关系；（2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并给出证明．

Question

已知f（n）=1+(1)/(23)+(1)/(33)+(1)/(43)+…+(1)/(n3)，g（n）=(3)/(2)-(1)/(2n2)，n∈N^*．
（1）当n=1，2，3时，试比较f（n）与g（n）的大小关系；
（2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并给出证明．

Answer 1

（1）当n=1时，f（1）=1，g（1）=1，所以f（1）=g（1）；
当n=2时，f(2)＝(9)/(8)，g(2)＝(11)/(8)，
所以f（2）＜g（2）；
当n=3时，f(3)＝(251)/(216)，g(3)＝(312)/(216)，
所以f（3）＜g（3）．
（2）由（1），猜想f（n）≤g（n），下面用数学归纳法给出证明：
①当n=1，2，3时，不等式显然成立．
②假设当n=k（k≥3）时不等式成立，
即1+(1)/(23)+(1)/(33)+(1)/(43)+(1)/(k3)＜(3)/(2)−(1)/(2k2)，
那么，当n=k+1时，f(k+1)＝f(k)+(1)/((k+1)3)＜(3)/(2)−(1)/(2k2)+(1)/((k+1)3)，
因为(1)/(2(k+1)2)−((1)/(2k2)−(1)/((k+1)3))＝(k+3)/(2(k+1)3)−(1)/(2k2)＝(−3k−1)/(2(k+1)3k2)＜0，
所以f(k+1)＜(3)/(2)−(1)/(2(k+1)2)＝g(k+1)．
由①、②可知，对一切n∈N^*，都有f（n）≤g（n）成立．