如图，过原点的直线和与反比例函数的图象分别交于两点A，C和B，D，连结AB，BC，CD，DA．（1）四边形ABCD一定是四边形；（直接填写结果）（2）四边形AB

Question

如图，过原点的直线 和 与反比例函数 的图象分别交于两点A，C和B，D，连结AB，BC，CD，DA．

（1）四边形ABCD一定是         四边形；（直接填写结果）

（2）四边形ABCD可能是矩形吗？若可能，试求此时 和 之间的关系式；若不可能，说明理由；

（3）设P（ ， ），Q（ ， ）（ ）是函数 图象上的任意两点， ， ，试判断 ， 的大小关系，并说明理由．

   

Answer 1

（1） ∵ 直线y=k ₁ x和y=k ₂ x与反比例函数y= 的图象关于原点对称，

∴ OA=OC ，OB=OD，

∴ 四边形ABCD 是平行四边形；

故答案为：平行；

（2） ∵ 正比例函数y=k ₁ x（k ₁ ＞0）与反比例函数y= 的图象在第一象限相交于A，

∴ k ₁ x= ，解得x= （因为交于第一象限，所以负根舍去，只保留正根）

将x= 带入y=k ₁ x得y= ，

故A点的坐标为（ ， ）同理则B点坐标为（ ， ），

又 ∵ OA=OB ，

∴ = ，两边平分得得 +k ₁ = +k ₂ ，

整理后得（k ₁ ﹣k ₂ ）（k ₁ k ₂ ﹣1）=0，

∵ k ₁ ≠k ₂ ，

所以k ₁ k ₂ ﹣1=0，即k ₁ k ₂ =1；

（3） ∵ P （x ₁ ，y ₁ ），Q（x ₂ ，y ₂ ）（x ₂ ＞x ₁ ＞0）是函数y= 图象上的任意两点，

∴ y ₁ = ，y ₂ = ，

∴ a= = = ，

∴ a ﹣b= ﹣ = = ，

∵ x ₂ ＞x ₁ ＞0，

∴ ＞0，x ₁ x ₂ ＞0，（x ₁ +x ₂ ）＞0，

∴ ＞0，

∴ a ﹣b＞0，

∴ a ＞b．