如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C、D不重合）．（1）如图①，当α=90°时，求证：DE+DF=AD．（2）

Question

如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C、D不重合）．

（1）如图①，当α=90°时，求证：DE+DF=AD．
（2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为DE+DF=(1)/(2)AD，请给出证明．
（3）在（2）的条件下，将∠QPN绕点P旋转，若旋转过程中∠QPN的边PQ与边AD的延长线交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．

Answer 1

（1）正方形ABCD的对角线AC，BD交于点P，
∴PA=PD，∠PAE=∠PDF=45°，
∵∠APE+∠EPD=∠DPF+∠EPD=90°，
∴∠APE=∠DPF，
在△APE和△DPF中

∠APE=∠DPE

PA=PD

∠PAE=∠PDE

，
∴△APE≌△DPF（ASA），
∴AE=DF，
∴DE+DF=AD；

（2）如图②，取AD的中点M，连接PM，

∵四边形ABCD为∠ADC=120°的菱形，
∴BD=AD，∠DAP=30°，∠ADP=∠CDP=60°，
∴△MDP是等边三角形，
∴PM=PD，∠PME=∠PDF=60°，
∵∠PAM=30°，
∴∠MPD=60°，
∵∠QPN=60°，
∴∠MPE=∠FPD，
在△MPE和△DPF中，

∠PME=∠PDF

PM=PD

∠MPE=∠EPD

，
∴△MPE≌△DPF（ASA）
∴ME=DF，
∴DE+DF=(1)/(2)AD；

（3）如图，

如图③，当点E落在AD的延长线上时，
取AD的中点M，连接PM，
∵四边形ABCD为菱形，∠ADC=120°，
∴AD=CD，∠DAP=30°，AC⊥BD，
∴∠ADP=∠CDP=60°，
∵AM=MD，
∴PM=MD，
∴△MDP是等边三角形，
∴∠PME=∠MPD=60°，PM=PD，
∵∠QPN=60°，
∴∠MPE=∠FPD，
在△MPE和△DPF中，

∠PME=∠PDF

PM=PD

∠MPE=∠FPD

，
∴△MPE≌△DPF（ASA）．
∴ME=DF，
∴DF-DE=ME-DE=DM=(1)/(2)AD．