如图1，E，F是正方形ABCD的边上两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H（1）求证：AG⊥BE；（2）如图2，连DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是25-225-2．

Question

如图1，E，F是正方形ABCD的边上两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H
（1）求证：AG⊥BE；
（2）如图2，连DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是

2√(5)-2

2√(5)-2

．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°，
在△ABE和△DCF中，

AB＝CD

∠BAD＝∠ADC

AE＝DF

，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠ABE=∠DCF，
在△ADG和△CDG中，

AD＝CD

∠ADB＝∠CDB

DG＝DG

，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DAG=∠DCF，
∴∠ABE=∠DAG，
∵∠DAG+∠BAH=90°，
∴∠BAE+∠BAH=90°，
∴∠AHB=90°，
∴AG⊥BE；

（2）取AB的中点O，连接OD、OH，
∵正方形的边长为4，
∴AO=OH=(1)/(2)×4=2，
由勾股定理得，OD=√(42+22)=2√(5)，
由三角形的三边关系得，O、D、H三点共线时，DH最小，
DH_最小=2√(5)-2．
故答案为：2

作业帮用户 2017-11-11

问题解析

（1）根据正方形的性质可得AB=CD，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABE=∠DCF，再利用“边角边”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DAG=∠DCF，从而得到∠ABE=∠DAG，再根据∠DAG+∠BAH=90°求出∠BAE+∠BAH=90°，然后求出∠AHB=90°，再根据垂直的定义证明；
（2）取AB的中点O，连接OD、OH，利用勾股定理列式求出OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OH，再根据三角形的任意两边之差小于第三边判断出O、D、H三点共线时，DH最小．

名师点评

本题考点：

正方形的性质．

考点点评：

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，难点在于（2）作辅助线并确定出DH最小时的情况．

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