如图，在平面直角坐标系中xOy中，已知点A（1，m+1），B（a，m+1），C（3，m+3），D（1，m+a），m>0，1<a<3，点P（n-m，n）是四边形ABCD内的一点，且△PAD与△PBC的面积相等，求n-m的值．

Question

如图，在平面直角坐标系中xOy中，已知点A（1，m+1），B（a，m+1），C（3，m+3），D（1，m+a），m>0，1<a<3，点P（n-m，n）是四边形ABCD内的一点，且△PAD与△PBC的面积相等，求n-m的值．

Answer 1

过点P作x轴的平行线PE交BC于点E，如图所示．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将点B（a，m+1）、C（3，m+3）代入y=kx+b中，
得：

m+1=ak+b

m+3=3k+b

，解得：

k=(2)/(3-a)

b=m+(3a-3)/(a-3)

，
∴直线BC的解析式为y=(2)/(3-a)x+m+(3a-3)/(a-3)．
当y=n时，x=((3-a)(n-m)+3(a-1))/(2)，
∴E（((3-a)(n-m)+3(a-1))/(2)，n），PE=((3-a)(n-m)+3(a-1))/(2)-（n-m）=((1-a)(n-m-3))/(2)．
∵A（1，m+1），B（a，m+1），C（3，m+3），D（1，m+a），P（n-m，n），
∴AD=a-1，
∴S_△PAD=(1)/(2)AD•（x_P-x_A）=(1)/(2)（a-1）•（n-m-1），S_△PBC=(1)/(2)PE•（y_C-y_B）=(1)/(2)((1-a)(n-m-3))/(2)×2=((1-a)(n-m-3))/(2)．
∵S_△PAD=S_△PBC，
∴(1)/(2)（a-1）•（n-m-1）=((1-a)(n-m-3))/(2)，
解得：n-m=2．