如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，D为A1C1的中点，B1C⊥A1B．（Ⅰ）求证：平面AB1C垂直平面A1BC1；（Ⅱ）求证：A1B∥平面B1CD；（Ⅲ）若AB=AC=BC=AB1=B1C=2，求三棱柱ABC-A1B1C1的表面积．

Question

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面BCC₁B₁是菱形，D为A₁C₁的中点，B₁C⊥A₁B．

（Ⅰ）求证：平面AB₁C垂直平面A₁BC₁；
（Ⅱ）求证：A₁B∥平面B₁CD；
（Ⅲ）若AB=AC=BC=AB₁=B₁C=2，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面积．

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵侧面BCC₁B₁是菱形，∴B₁C⊥BC₁，
∵B₁C⊥A₁B，且A₁B∩BC₁=B，∴B₁C⊥平面A₁BC₁，
∵B₁C⊂平面AB₁C，∴平面AB₁C垂直平面A₁BC₁．
（Ⅱ）设BC₁∩B₁C于点E，连DE，∵在△A₁BC₁中，D为A₁C₁的中点，E为BC₁的中点，
∴DE∥A₁B，
∵DE⊂平面B₁CD，A₁B⊄平面B₁CD，
∴A₁B∥平面B₁CD．
（Ⅲ）依题意，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
两底面是边长为2的正三角形，面积均为√(3)，
侧面BAA₁B₁和侧面BCC₁B₁是两个全等的菱形，面积均为2√(3)，
侧面ACC₁A₁是一个正方形，面积为4，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面积为6√(3)+4．