如图，在△ABC中，E是AC边上的一点，且AE=AB，∠BAC=2∠CBE，以AB为直径作O交AC于点D，交BE于点F．（1）求证：BC是O的切线；（2）若AB=8，BC=6，求DE的长．

Question

如图，在△ABC中，E是AC边上的一点，且AE=AB，∠BAC=2∠CBE，以AB为直径作 O交AC于点D，交BE于点F．

（1）求证：BC是 O的切线；
（2）若AB=8，BC=6，求DE的长．

Answer 1

（1）证明：∵AE=AB，
∴△ABE是等腰三角形，
∴∠ABE=(1)/(2)（180°-∠BAC=）=90°-(1)/(2)∠BAC，
∵∠BAC=2∠CBE，
∴∠CBE=(1)/(2)∠BAC，
∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=（90°-(1)/(2)∠BAC）+(1)/(2)∠BAC=90°，
即AB⊥BC，
∴BC是 O的切线；
（2） 连接BD，
∵AB是 O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ADB=∠ABC，
∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴(AD)/(AB)=(AB)/(AC)，
∵在Rt△ABC中，AB=8，BC=6，
∴AC=√(AB2+BC2)=10，
∴(AD)/(8)=(8)/(10)，
解得：AD=6.4，
∵AE=AB=8，
∴DE=AE-AD=8-6.4=1.6．