设3阶实对数矩阵A的特征值是1,2,3,矩阵A属于特征值1,2的特征向量分别急求设3阶实对数矩阵A的特征值是1,2,3,矩阵A属于特征值1,2的特征向量分别是α₁=(-1,-1,1)^т,α₂=(1,-2,-1)^т,1.求A属于

Question

设3阶实对数矩阵A的特征值是1,2,3,矩阵A属于特征值1,2的特征向量分别 急求
设3阶实对数矩阵A的特征值是1,2,3,矩阵A属于特征值1,2的特征向量分别是α₁=(-1,-1,1)^т,α₂=(1,-2,-1)^т,
1.求A属于特征值3的特征向量；
2.求矩阵A.

Answer 1

解1.设 x=(x1,x2,x3) 是A的属于特征值3的特征向量.
由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的
所以有 (α1,x)=(α2,x)=0.即有
-x1-x2+x3=0
x1-2x2-x3 = 0
-1 -1 1
1 -2 -1
r1+r2
0 -3 0
1 -2 -1
r1*(-1/3),r2+2r1
0 1 0
1 0 -1
得 α3=(1,0,1)^T.
令P = (α1,α2,α3),则 P^(-1)AP = diag(1,2,3)
所以有 A = Pdiag(1,2,3)P^(-1).
P=
-1 1 1
-1 -2 0
1 -1 1
P^(-1) =
-1/3 -1/3 1/3
1/6 -1/3 -1/6
1/2 0 1/2
计算得 A =
13/6 -1/3 5/6
-1/3 5/3 1/3
5/6 1/3 13/6
注:可这样验证:AP = Pdiag(1,2,3).