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如图,在△ABC中,∠BAC=40°,∠ACB=75°,点I是两条角平分线的交点.(1)求∠BIC的度数;(2)若点D是两条外角平分线的交点,求∠BDC的度数;(3)若点E是内角∠ABC、外角∠ACG的平分线交点
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如图,在△ABC中,∠BAC=40°,∠ACB=75°,点I是两条角平分线的交点.
(1)求∠BIC的度数;
(2)若点D是两条外角平分线的交点,求∠BDC的度数;
(3)若点E是内角∠ABC、外角∠ACG的平分线交点,试探索∠BEC与∠BAC的数量关系,并说明理由.
(1)求∠BIC的度数;
(2)若点D是两条外角平分线的交点,求∠BDC的度数;
(3)若点E是内角∠ABC、外角∠ACG的平分线交点,试探索∠BEC与∠BAC的数量关系,并说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)在△ABC中,
∵∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°,∠BAC=40°,∠ACB=75°,
∴∠ABC=180°-40°-75°=65°.
∵BI是∠ABC的平分线,
∴∠CBI=
∠ABC=
×65°=32.5°.
∵CI是∠ABC的平分线,
∴∠BCI=
∠ACB=
×75°=37.5°.
在△BCI
∠CBI+∠BCI+∠BIC=180°,
∴∠BIC=180°-32.5°-37.5°=110°.
(2)∵∠MBC是△ABC的外角,
∴∠MBC=∠A+∠ACB.
∵∠NCB是△ABC的外角,
∴∠NCB=∠A+∠ABC.
∴∠MBC+∠NCB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A=180°+40°=220°.
∵BD是∠MBC的平分线,
∴∠CBD=
∠MBC.
∵CD是∠NCB的平分线,
∴∠BCD=
∠NCB.
∴∠CBD+∠BCD=
(∠MBC+∠NCB)=
×220°=110°.
在△BCD中
∠BDC+∠CBD+∠BCD=180°,
∴∠BDC=180°-110°=70°.
(3)∵BE是∠ABC的平分线,
∴∠CBE=
∠ABC.
∵∠ACG是△ABC的外角,
∴∠ACG=∠BAC+∠ABC.
∵CE是∠ACG的平分线,
∴∠ECG=
(∠BAC+∠ABC)=
∠BAC+
∠ABC.
∵∠ECG是△BCE的外角,
∴∠ECG=∠CBE+∠BEC.
∴
∠BAC+
∠ABC=
∠ABC+∠BEC.
∴∠BAC=2∠BEC.
∵∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°,∠BAC=40°,∠ACB=75°,
∴∠ABC=180°-40°-75°=65°.
∵BI是∠ABC的平分线,
∴∠CBI=
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∵CI是∠ABC的平分线,
∴∠BCI=
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在△BCI
∠CBI+∠BCI+∠BIC=180°,
∴∠BIC=180°-32.5°-37.5°=110°.
(2)∵∠MBC是△ABC的外角,
∴∠MBC=∠A+∠ACB.
∵∠NCB是△ABC的外角,
∴∠NCB=∠A+∠ABC.
∴∠MBC+∠NCB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A=180°+40°=220°.
∵BD是∠MBC的平分线,
∴∠CBD=
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∵CD是∠NCB的平分线,
∴∠BCD=
1 |
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∴∠CBD+∠BCD=
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在△BCD中
∠BDC+∠CBD+∠BCD=180°,
∴∠BDC=180°-110°=70°.
(3)∵BE是∠ABC的平分线,
∴∠CBE=
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∵∠ACG是△ABC的外角,
∴∠ACG=∠BAC+∠ABC.
∵CE是∠ACG的平分线,
∴∠ECG=
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∵∠ECG是△BCE的外角,
∴∠ECG=∠CBE+∠BEC.
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∴∠BAC=2∠BEC.
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