证明：过曲线xy=a2上的任何一点（x0，y0）（x0>0）的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个常数．

Question

证明：过曲线xy=a²上的任何一点（x₀，y₀）（x₀>0）的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个常数．

Answer 1

证明：曲线xy=a²即y=(a2)/(x)
的导数为y′=-(a2)/(x2)，
在（x₀，y₀）处的切线斜率为-(a2)/(x02)，
切点为（x₀，(a2)/(x0)），
则有切线方程：y-(a2)/(x0)=-(a2)/(x02)（x-x₀），
由x=0得，y=(2a2)/(x0)，
再由y=0，得，x=2x₀，
则与两坐标轴围城的三角形面积是：(1)/(2)×|2x₀•(2a2)/(x0)|=2a²．