已知函数f（x）是定义在[a，b]上的函数，若存在x0∈（a，b），使得函数在[a，x0]上单调递增，在[x0，b]上单调递减，则称y=f（x）为[a，b]上的“单凸函数”，x0称为“凸点”，包含“凸点”的

Question

已知函数f（x）是定义在[a，b]上的函数，若存在x₀∈（a，b），使得函数在[a，x₀]上单调递增，在[x₀，b]上单调递减，则称y=f（x）为[a，b]上的“单凸函数”，x₀称为“凸点”，包含“凸点”的区间称为“含凸区间”．
（1）判断下列函数中，哪些是[0，1]上的“单凸函数”？若是，指出“凸点”；若不是，说明理由．
①f₁（x）=x-2x²
②f₂（x）=1-|2x-1|
③f₃（x）=|log₂（x+(1)/(2)）|
④f₄（x）=sin4x
（2）若函数f（x）=ax³+x（a＜0）是[1，2]上的“单凸函数”，求实数a的取值范围；
（3）某学生研究发现如下命题：设y=f（x）是[a，b]上的“单凸函数”，若m，n∈（a，b），m＜n，且f（m）＞f（n），则[a，n]为y=f（x）的“含凸区间”，试判断该命题的真假，并说明理由．

Answer 1

（1）∵①f₁（x）=x-2x²，∴f1′(x)=1-4x，
由f1′(x)=0，得x=(1)/(4)，
x∈[0，(1)/(4))时，f1′(x)＞0，f₁（x）是增函数；
x∈（(1)/(4)，1]时，f1′(x)＜0，f₁（x）是减函数．
∴①f₁（x）=x-2x²是[0，1]上的“单凸函数”，“凸点”为(1)/(4)；
∵②f₂（x）=1-|2x-1|=

2-2x，x≥(1)/(2)

2x，x＜(1)/(2)

，
∴f2′(x)=

-2，x≥(1)/(2)

2，x＜(1)/(2)

，
∴②f₂（x）=1-|2x-1|不是[0，1]上的“单凸函数”；
∵③f₃（x）=|log₂（x+(1)/(2)）|=√(log作业帮用户2017-09-22问题解析（1）根据“单凸函数”和“凸点”的定义，利用导数的性质能求出结果．（2）若要使函数为“单凸函数”，在此区间上需满足二阶导数小于0，且存在极值点，由此能求出a的范围．（3）由f（x）是单凸函数，得在[a，b]不是单纯的单边增函数或单边减函数，由此能推导出[a，n]为f（x）的含凸区间．名师点评本题考点：命题的真假判断与应用．考点点评：本题考查单凸函数”的判断和“凸点”的求法，考查实数的取值范围的求法，考查含凸区间的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)