如图，在平面直角坐标系中，已知点A（10，0），B（4，8），C（0，8），连接AB，BC，点P在x轴上，从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时点M从点A出发，以每秒2个单位长度的

Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（10，0），B（4，8），C（0，8），连接AB，BC，点P在x轴上，从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A-B-C向点C运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设P，M两点运动的时间为t秒．

（1）求AB长；
（2）设△PAM的面积为S，当0≤t≤5时，求S与t的函数关系式，并指出S取最大值时，点P的位置；
（3）t为何值时，△APM为直角三角形？

Answer 1

（1）如图1，过点B作BD⊥x轴于点D，
∵A（10，0），B（4，8）C（0，8），
∴AO=10，BD=8，AD=6，
由勾股定理可求得：AB=10，
（2）∵AB=10，
∴10÷2=5，
∵0≤t≤5，
∴点M在AB上，
作ME⊥OA于E，
∴△AEM∽△ADB，
∴(ME)/(BD)=(AM)/(AB)，
∴(ME)/(8)=(2t)/(10)，
∴ME=(8)/(5)t，
∴S=(1)/(2)PA•ME=(1)/(2)（10-t）•(8)/(5)t=-(4)/(5)t2+8t=-(4)/(5)（t-5）²+20，
∵0≤t≤5，
∴t=5时，S取最大值，此时PA=10-t=5，
即：点P在OA的中点处．
（3）由题意可知：0≤t≤7，
当点P是直角顶点时，
∴PM⊥AP，
∴PA=10-t，
若0≤t≤5时，点M在AB上，如图2，
此时AM=2t，
∵cos∠BAO=(3)/(5)，
∴(AP)/(AM)=(3)/(5)，
∴(10-t)/(2t)=(3)/(5)
∴t=(50)/(11)，
若5<t≤7时，点M在BC上，如图3，
∴CM=14-2t，OP=t，
∴OP=CM，
∴t=14-2t，
∴t=(14)/(3)，
当点A是直角顶点时，
此时，∠MAP不可能为90°，此情况不符合题意；
当点M是直角顶点时，
若0≤t≤5时，M在AB上，如图4，
此时，AM=2t，AP=10-t
∵cos∠BAO=(3)/(5)，
∴(AM)/(AP)=(3)/(5)，
∴(2t)/(10-t)=(3)/(5)，
∴t=(30)/(13)，
若5<t≤7时，点M在BC上，如图5，
过点M作ME⊥x轴于点E，
此时，CM=14-2t，OP=t，
∴ME=8，PE=CM-OP=14-3t，
∴EA=10-（14-2t）=2t-4，
∵∠PMA=∠MEA=90°，
∴∠PME+∠EMA=∠EMA+∠MAP=90°，
∴∠PME=∠MAP，
∴△PME∽△MAE，
∴(ME)/(PE)=(EA)/(ME)，
∴ME²=PE•EA，
∴64=（14-3t）（2t-4），
∴3t²-8t+60=0，
△=-656<0，故此情况不存在；
综上所述，t=(50)/(11)或

作业帮用户 2017-10-28

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