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已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线l经过顶点C,过A,B两点分别作l的垂线AE和BF,且E,F为垂足.(1)求证:EF=AE+BF;(2)取AB的中点M,连接ME,MF.试判断△MEF的形状,并说明理
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已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线l经过顶点C,过A,B两点分别作l的垂线AE和BF,且E,F为垂足.
(1)求证:EF=AE+BF;
(2)取AB的中点M,连接ME,MF.试判断△MEF的形状,并说明理由.
(1)求证:EF=AE+BF;
(2)取AB的中点M,连接ME,MF.试判断△MEF的形状,并说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵AE⊥EF,BF⊥EF,∠ACB=90°
∴∠AEC=∠BFC=∠ACB=90°,
∴∠EAC+∠ECA=90°,∠ECA+∠FCB=90°,
∴∠EAC=∠FCB,
在△EAC和△FCB中
∴△EAC≌△FCB(AAS),
∴CE=BF,AE=CF,
∴EF=CE+CF=AE+BF,
即EF=AE+BF.
(2)△MEF为等腰直角三角形,
△MEF为等腰直角三角形
理由是:连接CM,
∵△ABC是等腰直角三角形,AM=BM,
∴CM⊥AB,∠ACM=∠MCB=45°
∴CM=AM=BM=
AB
∵∠EAM=∠EAC+∠CAM=∠EAC+45°
∵∠MCF=∠BCF+∠MCB=∠BCF+45°
∵∠EAC=∠BCF,
∴∠MAE=∠MCF,
在△MAE和△MCF中
∴△MAE≌△MCF(SAS)
∴EM=MF,∠CMF=∠AME,
∵∠AMC=90°,
∵∠AMC=∠CME+∠AME=∠CME+CMF=∠EMF,
∴∠AME=∠EMF=90°,
∴△MEF是等腰直角三角形.
∴∠AEC=∠BFC=∠ACB=90°,
∴∠EAC+∠ECA=90°,∠ECA+∠FCB=90°,
∴∠EAC=∠FCB,
在△EAC和△FCB中
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∴△EAC≌△FCB(AAS),
∴CE=BF,AE=CF,
∴EF=CE+CF=AE+BF,
即EF=AE+BF.
(2)△MEF为等腰直角三角形,
△MEF为等腰直角三角形
理由是:连接CM,
∵△ABC是等腰直角三角形,AM=BM,
∴CM⊥AB,∠ACM=∠MCB=45°
∴CM=AM=BM=
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∵∠EAM=∠EAC+∠CAM=∠EAC+45°
∵∠MCF=∠BCF+∠MCB=∠BCF+45°
∵∠EAC=∠BCF,
∴∠MAE=∠MCF,
在△MAE和△MCF中
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∴△MAE≌△MCF(SAS)
∴EM=MF,∠CMF=∠AME,
∵∠AMC=90°,
∵∠AMC=∠CME+∠AME=∠CME+CMF=∠EMF,
∴∠AME=∠EMF=90°,
∴△MEF是等腰直角三角形.
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