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已知,四边形ABCD为正方形,E,F分别在BC,CD上,△AEF为等边三角形,G为CD上一点,EG平分∠AGC,求证:AG=FG+EG.
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已知,四边形ABCD为正方形,E,F分别在BC,CD上,△AEF为等边三角形,G为CD上一点,EG平分∠AGC,求证:AG=FG+EG.
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▼优质解答
答案和解析
证明:如图延长GC使得GM=GA,连接AM,EM,AM交EG于O,在GA上截取GK=FG,连接FK.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠D=∠B=∠DCB=90°,
∵△AEF是等边三角形,
∴AE=AF=EF,∠EAF=∠AEF=∠AFE=60°,
∵EG平分∠AGC,
∴GE垂直平分AM,
∴EA=EM=EF,
在RT△ADF和RT△ABE中,
,
∴△ADF≌△ABE,
∴DF=BE,CF=CE,
∴∠EFC=∠FEC=∠EMF=45°,
∵∠GAM=∠GMA,∠EAM=∠EMA,![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_73bcfb5202544cc04222473b85371ec8.jpg)
∴∠GAE=∠EMG=45°=∠GFH,
∵∠GFH+∠FHG+∠FGH=180°,∠HAE+∠AEH+∠AHE=180°,∠FHG=∠EHA,
∴∠FGH=∠AEF=60°,
∴∠AEG=∠EGC=60°,
∵GK=FG,∠FGK=60°,
∴△FGK是等边三角形,
∴FK=FG=GK,∠GFK=∠AFE=60°,
∴∠AFK=∠EFG,
在△AFK和△EFG中,
,
∴△AFK≌△EFG,
∴AK=EG,
∴AG=AK+GK=GE+GF.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠D=∠B=∠DCB=90°,
∵△AEF是等边三角形,
∴AE=AF=EF,∠EAF=∠AEF=∠AFE=60°,
∵EG平分∠AGC,
∴GE垂直平分AM,
∴EA=EM=EF,
在RT△ADF和RT△ABE中,
|
∴△ADF≌△ABE,
∴DF=BE,CF=CE,
∴∠EFC=∠FEC=∠EMF=45°,
∵∠GAM=∠GMA,∠EAM=∠EMA,
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∴∠GAE=∠EMG=45°=∠GFH,
∵∠GFH+∠FHG+∠FGH=180°,∠HAE+∠AEH+∠AHE=180°,∠FHG=∠EHA,
∴∠FGH=∠AEF=60°,
∴∠AEG=∠EGC=60°,
∵GK=FG,∠FGK=60°,
∴△FGK是等边三角形,
∴FK=FG=GK,∠GFK=∠AFE=60°,
∴∠AFK=∠EFG,
在△AFK和△EFG中,
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∴△AFK≌△EFG,
∴AK=EG,
∴AG=AK+GK=GE+GF.
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