y'＋a/y＝b.a,b为常数.

Question

y'＋a/y＝b.a,b 为常数.

Answer 1

(1)当b=0时,原微分方程为：y'＋a/y=0
∴ydy=-adx
y²/2=-ax+C/2,(C是积分常数)
故 原微分方程通解为;y²=C-2ax,(C是积分常数).
(2)当b≠0时,原微分方程变换为：
ydy/(by-a)=dx
==>1/b[1+a/(by-a)]dy=dx
==>1/b[y+a/bln|by-a|]=x+C1,(C1是积分常数)
==>y+a/bln|by-a|=bx+C2,(C2=bC1)
==>a/bln|by-a|=bx-y+C2
==>ln|by-a|=b²x/a-by/a+C3,(C3=bC2/a)
==>by-a=C4e^(b²x/a-by/a),(C4=e^C3)
==>by=a+C4e^(b²x/a-by/a)
==>y=a/b+Ce^(b²x/a-by/a),(C(=C4/b)是积分常数)
故 原微分方程的通解是：y=a/b+Ce^(b²x/a-by/a),(C是积分常数).