无穷积分∫(1→+∞)1/x^pdx收敛,则实数p的取值范围为?

Question

无穷积分∫(1→+∞)1/x^p dx 收敛,则实数p的取值范围为?

Answer 1

经典问题!分p < 1,p = 1和p > 1讨论.
∫ 1/x^p dx = ∫ x^(- p) dx = x^(1 - p)/(1 - p)
当p < 1
由于1 - p > 0,为正次方
lim(x→+∞) x^(1 - p)/(1 - p) → +∞
所以结果 → +∞
当p = 1,结果为
∫(1→+∞) 1/x dx = ln(x) |(1→+∞) = ln(+∞) → +∞,很显然不存在
当p > 1
由于1 - p < 0,为负次方,设1 - p = - n,n > 0
所以结果x^(1 - p)/(1 - p) |(1→+∞)
= lim(x→+∞) 1/[(1 - p)x^n] - 1/(1 - p)
= 0 - 1/(1 - p)
= 1/(p - 1)
所以当p > 1时积分才收敛.