求微分方程y″-a（y′）2=0（a>0）满足初始条件y|x=0=0，y′|x=0=-1的特解．

Question

求微分方程y″-a（y′）²=0（a>0）满足初始条件y|_x=0=0，y′|_x=0=-1的特解．

Answer 1

令y'=p，则y″=(dp)/(dx)，代入原方程，得
(dp)/(dx)-ap2=0，即(dp)/(p2)=adx
两边积分，得
∫(dp)/(p2)=∫adx，即-(1)/(p)=ax+C1，
由x=0，y=0，y′=p=-1，解得C₁=1，
因而-(1)/(p)=ax+1，即p=-(1)/(ax+1)，即y′=-(1)/(ax+1)，
故y=-∫(1)/(ax+1)dx=-(1)/(a)ln(ax+1)+C2，
由x=0，y=0，得C₂=0，
以y=-(1)/(a)ln(ax+1)．