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△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,M是AB边的中点.(1)如图1,若P,Q分别在边BC和CA上,且BP=CQ.通过观察或测量,猜想△MPQ的形状,并给予证明;(2)如图2,若P,Q分别在BC和CA的延长线上,且BP=CQ
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△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,M是AB边的中点.
(1)如图1,若P,Q分别在边BC和CA上,且BP=CQ.通过观察或测量,猜想△MPQ的形状,并给予证明;
(2)如图2,若P,Q分别在BC和CA的延长线上,且BP=CQ,△MPQ的形状与(1)中相比,是否会有变化?请说明理由.
(1)如图1,若P,Q分别在边BC和CA上,且BP=CQ.通过观察或测量,猜想△MPQ的形状,并给予证明;
(2)如图2,若P,Q分别在BC和CA的延长线上,且BP=CQ,△MPQ的形状与(1)中相比,是否会有变化?请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
证明:
(1)连接CM,
∵∠ACB=90°,AC=BC,M是AB边的中点,
∴CM=BM,∠ACM=∠B=45°,CM⊥AB,
∵在△CMQ和△BMP中,
,
∴△CMQ≌△BMP,(SAS)
∴∠BMP=∠CMQ,QM=PM,
∵∠CMP+∠BMP=90°,
∴∠CMQ+∠CMP=90°,即∠QMP=90°;
∴△MPQ是等腰直角三角形;
(2)连接CM,
∵∠ACB=90°,AC=BC,M是AB边的中点,
∴CM=AM,∠ACM=∠CAM=45°,CM⊥AB,
∴∠PCM=45°+90°=135°,
∠QAM=180°-45°=135°,
∵在△AQM和△CPM中,
,
∴△AQM≌△CPM,(SAS)
∴QM=PM,∠QMA=∠PMC,
∵∠PMC+∠PMA=90°,
∴∠QMA+∠PMA=90°,
∴△MPQ是等腰直角三角形.
(1)连接CM,
∵∠ACB=90°,AC=BC,M是AB边的中点,
∴CM=BM,∠ACM=∠B=45°,CM⊥AB,
∵在△CMQ和△BMP中,
|
∴△CMQ≌△BMP,(SAS)
∴∠BMP=∠CMQ,QM=PM,
∵∠CMP+∠BMP=90°,
∴∠CMQ+∠CMP=90°,即∠QMP=90°;
∴△MPQ是等腰直角三角形;
(2)连接CM,
∵∠ACB=90°,AC=BC,M是AB边的中点,
∴CM=AM,∠ACM=∠CAM=45°,CM⊥AB,
∴∠PCM=45°+90°=135°,
∠QAM=180°-45°=135°,
∵在△AQM和△CPM中,
|
∴△AQM≌△CPM,(SAS)
∴QM=PM,∠QMA=∠PMC,
∵∠PMC+∠PMA=90°,
∴∠QMA+∠PMA=90°,
∴△MPQ是等腰直角三角形.
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