如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M是AD的中点，BC=8，MB=5（1）判断△MBC的形状，并说明理由（2）若点P，Q分别是线段BC，BM上的动点（点P与点B，C均不重合），且∠MPQ=∠MCB，设BP=x，QM=y，求y

Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M是AD的中点，BC=8，MB=5

（1）判断△MBC的形状，并说明理由
（2）若点P，Q分别是线段BC，BM上的动点（点P与点B，C均不重合），且∠MPQ=∠MCB，设BP=x，QM=y，求y与x的关系式及x的取值范围，判断y是否存在最大（或最小）值？若存在，求出其值，并判断此时△MQP的形状；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）△BMC是等腰三角形；
证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC，∠A=∠D，
又∵M是AD中点，
∴AM=MD，
在△ABM和△DCM中，

AB=DC

∠A=∠D

AM=MD

，
∴△ABM≌△DCM（SAS），
∴MB=MC，
∴△BMC是等腰三角形；
（2）由（1）知，∠MBC=∠MCB，
∵∠MPQ=∠MCB，
∴∠MBC=∠MPQ，
∵∠MBC+∠BQP=∠MPQ+∠MPC（∠MPQ+∠MPC=∠CPQ是三角形外角），
∴∠BQP=∠MPC，
∴△BPQ∽△CMP，
∴(QB)/(PC)=(BP)/(MC)，
得（5-y）：（8-x）=x：5，
整理得：y=(1)/(5)x²-(8)/(5)x+5（0配方：y=（x-4）²+(9)/(5)，
∴当x=4时，y最小=(9)/(5)．
此时BP=PC=4，
∴MP⊥BC，即∠MPC=90°，
∴∠BQP=90°，
∴∠MQP=90°，
即△MQP为直角三角形．