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如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,M是AD的中点,BC=8,MB=5(1)判断△MBC的形状,并说明理由(2)若点P,Q分别是线段BC,BM上的动点(点P与点B,C均不重合),且∠MPQ=∠MCB,设BP=x,QM=y,求y
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如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,M是AD的中点,BC=8,MB=5
![作业帮](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4ec2d5628535e5dd4ef249da70c6a7efcf1b62dd.jpg)
(1)判断△MBC的形状,并说明理由
(2)若点P,Q分别是线段BC,BM上的动点(点P与点B,C均不重合),且∠MPQ=∠MCB,设BP=x,QM=y,求y与x的关系式及x的取值范围,判断y是否存在最大(或最小)值?若存在,求出其值,并判断此时△MQP的形状;若不存在,请说明理由.
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(1)判断△MBC的形状,并说明理由
(2)若点P,Q分别是线段BC,BM上的动点(点P与点B,C均不重合),且∠MPQ=∠MCB,设BP=x,QM=y,求y与x的关系式及x的取值范围,判断y是否存在最大(或最小)值?若存在,求出其值,并判断此时△MQP的形状;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)△BMC是等腰三角形;
证明:∵四边形ABCD是等腰梯形,
∴AB=DC,∠A=∠D,
又∵M是AD中点,
∴AM=MD,
在△ABM和△DCM中,
,
∴△ABM≌△DCM(SAS),
∴MB=MC,
∴△BMC是等腰三角形;
(2)由(1)知,∠MBC=∠MCB,
∵∠MPQ=∠MCB,
∴∠MBC=∠MPQ,
∵∠MBC+∠BQP=∠MPQ+∠MPC(∠MPQ+∠MPC=∠CPQ是三角形外角),
∴∠BQP=∠MPC,
∴△BPQ∽△CMP,
∴
=
,
得(5-y):(8-x)=x:5,
整理得:y=
x2-
x+5(0 配方:y=(x-4)2+
,
∴当x=4时,y最小=
.
此时BP=PC=4,
∴MP⊥BC,即∠MPC=90°,
∴∠BQP=90°,
∴∠MQP=90°,
即△MQP为直角三角形.
证明:∵四边形ABCD是等腰梯形,
∴AB=DC,∠A=∠D,
又∵M是AD中点,
∴AM=MD,
在△ABM和△DCM中,
|
∴△ABM≌△DCM(SAS),
∴MB=MC,
∴△BMC是等腰三角形;
(2)由(1)知,∠MBC=∠MCB,
∵∠MPQ=∠MCB,
∴∠MBC=∠MPQ,
∵∠MBC+∠BQP=∠MPQ+∠MPC(∠MPQ+∠MPC=∠CPQ是三角形外角),
∴∠BQP=∠MPC,
∴△BPQ∽△CMP,
∴
QB |
PC |
BP |
MC |
得(5-y):(8-x)=x:5,
整理得:y=
1 |
5 |
8 |
5 |
9 |
5 |
∴当x=4时,y最小=
9 |
5 |
此时BP=PC=4,
∴MP⊥BC,即∠MPC=90°,
∴∠BQP=90°,
∴∠MQP=90°,
即△MQP为直角三角形.
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