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在平面直角坐标系xOy中,点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,且AB=10,点M为线段AB的中点.(1)如图1,线段OM的长度为;(2)如图2,以AB为斜边作等腰直角三角形ACB,当点C在第一象限时
题目详情
在平面直角坐标系xOy中,点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,且AB=10,点M为线段AB的中点.
(1)如图1,线段OM的长度为______;
(2)如图2,以AB为斜边作等腰直角三角形ACB,当点C在第一象限时,求直线OC所对应的函数的解析式;
(3)如图3,设点D、E分别在x轴、y轴的负半轴上,且DE=10,以DE为边在第三象限内作正方形DGFE,请求出线段MG长度的最大值,并直接写出此时直线MG所对应的函数的解析式.
(1)如图1,线段OM的长度为______;
(2)如图2,以AB为斜边作等腰直角三角形ACB,当点C在第一象限时,求直线OC所对应的函数的解析式;
(3)如图3,设点D、E分别在x轴、y轴的负半轴上,且DE=10,以DE为边在第三象限内作正方形DGFE,请求出线段MG长度的最大值,并直接写出此时直线MG所对应的函数的解析式.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵在Rt△OAB中,AB=10,点M为线段AB的中点,
∴线段OM的长度为5;
(2)如图2,过点C分别作CP⊥x轴于P,CQ⊥y轴于Q.
∴∠CQB=∠CPA=90°,
∵∠QOP=90°,
∴∠QCP=90°.
∵∠BCA=90°,
∴∠BCQ=∠ACP.
∵三角形ACB是以AB为斜边的等腰直角三角形,
∴BC=AC,
在△BCQ与△ACP中,
∴△BCQ≌△ACP(AAS).
∴CQ=CP.
∵点C在第一象限,
∴不妨设C点的坐标为(a,a)(其中a≠0).
设直线OC所对应的函数解析式为y=kx,
∴a=ka,解得k=1,
∴直线OC所对应的函数解析式为y=x.
(3)取DE的中点N,连结ON、NG、OM.
∵∠AOB=90°,
∴OM=
AB=5.
同理ON=5.
∵正方形DGFE,N为DE中点,DE=10,
∴NG=
=
=5
.
在点M与G之间总有MG≤MO+ON+NG(如图3),
由于∠DNG的大小为定值,只要∠DON=
∠DNG,且M、N关于点O中心对称时,M、O、N、G四点共线,此时等号成立(如图4).
∴线段MG取最大值10+5
.
此时直线MG的解析式y=
∴线段OM的长度为5;
(2)如图2,过点C分别作CP⊥x轴于P,CQ⊥y轴于Q.
∴∠CQB=∠CPA=90°,
∵∠QOP=90°,
∴∠QCP=90°.
∵∠BCA=90°,
∴∠BCQ=∠ACP.
∵三角形ACB是以AB为斜边的等腰直角三角形,
∴BC=AC,
在△BCQ与△ACP中,
|
∴△BCQ≌△ACP(AAS).
∴CQ=CP.
∵点C在第一象限,
∴不妨设C点的坐标为(a,a)(其中a≠0).
设直线OC所对应的函数解析式为y=kx,
∴a=ka,解得k=1,
∴直线OC所对应的函数解析式为y=x.
(3)取DE的中点N,连结ON、NG、OM.
∵∠AOB=90°,
∴OM=
1 |
2 |
同理ON=5.
∵正方形DGFE,N为DE中点,DE=10,
∴NG=
DN2+DG2 |
102+52 |
5 |
在点M与G之间总有MG≤MO+ON+NG(如图3),
由于∠DNG的大小为定值,只要∠DON=
1 |
2 |
∴线段MG取最大值10+5
5 |
此时直线MG的解析式y=
−1+
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