已知二次函数y1=-x2-2mx-m2-1（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）当m=1时，将函数y1=-x2-2mx-m2-1的图象向上平移5个单位，得到函数y2=-x2+bx+c的图象，且y2=-x

Question

已知二次函数y₁=-x²-2mx-m²-1（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
（2）当m=1时，将函数y₁=-x²-2mx-m²-1的图象向上平移5个单位，得到函数y₂=-x²+bx+c的图象，且y₂=-x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，如图所示．
①求点A、B、C的坐标；
②如图，矩形MPQN的顶点M、N在线段AB上（点M在点N的坐标且不与点A、B重合），顶点P、Q在抛物线上A、B之间部分的图象上，过A、C两点的直线与矩形边MP相交于点E，当矩形MPQN的周长最大时，求△AME的面积；
③当矩形MPQN的周长最大时，在坐标轴上是否存在点D，使得△ACD的面积与②中△AME的面积相等？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）二次函数y₁=-x²-2mx-m²-1，
△=（-2m）²-4×（-1）×（-m²-1）=-4<0，
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
（2）①把m=1代入抛物线y₁=-x²-2mx-m²-1得：y₁=-x²-2x-2=-（x+1）²-1，向上平移5个单位得：y₂=-（x+1）²+4=-x²-2x+3，
令y=0得，0=-（x+1）²+4，解得：x=1，或x=-3，
∴点A（-3，0），B（1，0），
当x=0时，y=3，
∴点C（0，3），
②如图1：

设点N（m，0），则Q（m，-m²-2m+3），
QN=-m²-2m+3，MN=AB-2BN=4-2（1-m）=2m+2，
矩形MPQN的周长=2（-m²-2m+3+2m+2）=-2m²+10，
当m=0时，矩形MPQN的周长有最大值是10，
此时N（0，0），M（-2，0），P（-2，3），Q（0，3），AM=1，OA=3，OC=3，
由题意易证△AEM∽△AOC，得(AM)/(AO)=(EM)/(OC)，
∴(1)/(3)=(EM)/(3)，解得：EM=1，
∴△AME的面积=(1)/(2)×1×1=(1)/(2)；
③如图2：

若点D在x轴上，设点D（n，0），AD=|n+3|，此时S_△ACD=(1)/(2)，
∴(1)/(2)|n+3|×3=(1)/(2)，解得：n=-(10)/(3)，或n=-(8)/(3)，
此时点D坐标为（-(10)/(3)，0），或（-(8)/(3)，0），
如图3：

若点D在y轴上，设点D（0，p），CD=|p-3|，此时S_△ACD=(1)/(2)，
∴(1)/(2)|p-3|×3=(1)/(2)，解得：p=(10)/(3)，或p=(8)/(3)，
此时点D坐标为：（0，(10)/(3)），或（0，(8)/(3)），
综上所述：△ACD的面积与②中△AME的面积相等时，点D的坐标为：（-(10)/(3)，0），（-(8)/(3)，0），（0，(10)/(3)），（0，(8)/(3)）．