在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，P为AB的中点，Q为CD1的中点．（1）求证：DP⊥平面A1ABB1；（2）求证：PQ∥平面ADD1A1．（3）若E为CC1的中点，能否在CP上找一点F

Question

在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，P为AB的中点，Q为CD₁的中点．

（1）求证：DP⊥平面A₁ABB₁；
（2）求证：PQ∥平面ADD₁A₁．
（3）若E为CC₁的中点，能否在CP上找一点F，使得EF∥面DPQ？并给出证明过程．

Answer 1

证明：（1）连结BD
∵在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，
∴AP=AB=BD，
∵P为AB的中点，∴DP⊥AB，
∵AA₁⊥平面ABCD，DP⊂平面ABCD，
∴AA₁⊥DP，
∵AA₁∩AB=A，∴DP⊥平面A₁ABB₁．
（2）取CD中点M，连结PM、QM，
∵P为AB的中点，Q为CD₁的中点，
∴PM∥AD，QM∥DD₁，
∵AD∩DD₁=D，PM∩QM=M，
AD、DD₁⊂平面ADD₁，PM、QM⊂平面PQF，
∴平面ADD₁∥平面MPQ，
∵PQ⊂平面PQF，∴PQ∥平面ADD₁A₁．
（3）连结EB，
∵Q为CD₁的中点，E是CC₁的中点，P为AB中点，∴QE

∥

.

PB，
∴四边形PBEQ是平行四边形，∴BE∥PQ，
过B作BF∥AD，交PC于F，
∵BE∥PQ，BF∥AD，BE∩BF=B，PQ∩PD=P，
BE、BF⊂平面BEF，PQ、PD⊂平面PDQ，
∴平面BEF∥平面PDQ，
∵EF⊂平面BEF，∴EF∥面DPQ．