如图，摩天轮的半径OA为50m，它的最低点A距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m的景观带MN，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM=60m．点P从最低点A处按逆时针方向转动到最高点B处，

Question

如图，摩天轮的半径OA为50m，它的最低点A距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m的景观带MN，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM=60m．点P从最低点A处按逆时针方向转动到最高点B处，记∠AOP=θ，θ∈（0，π）．

（Ⅰ）当θ=(2π)/(3) 时，求点P距地面的高度PQ；
（Ⅱ）设y=tan∠MPN，写出用θ表示y的函数关系式，并求y的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）由题意可得PQ=50-50cosθ．
∴当θ=(2π)/(3) 时，PQ=50-50cos(2π)/(3)=75，
即点P距地面的高度为75m；
（Ⅱ）由题意可得AQ=50sinθ，
∴MQ=60-50sinθ，NQ=300-50sinθ．
又PQ=50-50cosθ，
∴tan∠NPQ=(NQ)/(PQ)=(6-sinθ)/(1-cosθ)，tan∠MPQ=(MQ)/(PQ)=(6-5sinθ)/(5-5cosθ)．
∴y=tan∠MPN=tan（∠NPQ-∠MPQ）
=(tan∠NPQ-tan∠MPQ)/(1+tan∠NPQ⋅tan∠MPQ)=(12(1-cosθ))/(23-18sinθ-5cosθ)．
令g（θ ）=(12(1-cosθ))/(23-18sinθ-5cosθ)，θ∈（0，π），
则g′（θ）=(12×18(sinθ+cosθ-1))/((23-18sinθ-5cosθ)2)
由g′（θ）=0，得sinθ+cosθ-1=0，解得θ=(π)/(2)．
当θ∈（0，(π)/(2)）时，g′（θ ）>0，g（θ ）为增函数；
当θ∈（(π)/(2)，π）时，g′（θ ）<0，g（θ ）为减函数，
∴当θ=(π)/(2)时，g（θ ）有极大值，也为最大值．
即当θ=(π)/(2)时，y取得最大值．