（示范高中）如图，在河的对岸可以看到两个目标物M，N，但不能到达，在河岸边选取相距40米的两个目标物P，Q两点，测得∠MPN=75°，∠NPQ=45°，∠MQP=30°，∠MQN=45°，试求两个目标物M，N之间

Question

（示范高中）如图，在河的对岸可以看到两个目标物M，N，但不能到达，在河岸边选取相距40米的两个目标物P，Q两点，测得∠MPN=75°，∠NPQ=45°，∠MQP=30°，∠MQN=45°，试求两个目标物M，N之间的距离．

Answer 1

根据题意，知|PQ|=40，∠PMQ=30°，∠PNQ=60°
在△MPQ中，由正弦定理，得   (|MQ|)/(sin∠MPQ)=(|PQ|)/(sin∠PMQ)
即    |MQ|=(|PQ|sin∠MPQ)/(sin∠PMQ)=(40sin120°)/(sin30°)=40√(3)…（4分）
在△NPQ中，由正弦定理，得   (|NQ|)/(sin∠NPQ)=(|PQ|)/(sin∠PNQ)
即   |NQ|=(|PQ|sin∠NPQ)/(sin∠PNQ)=(40sin45°)/(sin60°)=(40√(6))/(3)…（8分）
在△MQN中，由余弦定理，知|MN|²=|MQ|²+|NQ|²-2|MQ||NQ|cos∠MQN
故        |MN|2=4800+(3200)/(3)-2×40√(3)×(40√(6))/(3)×cos45°=(8000)/(3)
从而      |MN|=(40√(15))/(3)…（12分）
故两个目标物M、N之间的距离是(40√(15))/(3)米