如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC时（1）若CE⊥BD于E，①∠ECD=°；②求证：BD=2EC；（2）如图，点P是射线BA上A点右边一动点，以CP为斜边作等腰直角△CPF，其中∠F=90&d

Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC时        

（1）若CE⊥BD于E，
①∠ECD=___°；
②求证：BD=2EC；
（2）如图，点P是射线BA上A点右边一动点，以CP为斜边作等腰直角△CPF，其中∠F=90°，点Q为∠FPC与∠PFC的角平分线的交点．当点P运动时，点Q是否一定在射线BD上？若在，请证明，若不在；请说明理由．

Answer 1

（1）①∵∠BAC=90°，CE⊥BD，∠ADB=∠CDE，
∴∠ABD=∠ECD，
又∵∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=22.5°，
∴∠ECD=22.5°；
故答案为：22.5．

②如图，延长CE交BA的延长线于点G，

∵BD平分∠ABC，CE⊥BD，
∴CE=GE，
在△ABD与△ACG中，

∠DBA=∠ACG

∠BAC=∠CAG

AB=AC

，
∴△ABD≌△ACG（AAS），
∴BD=CG=2CE；

（2）点Q一定在射线BD上，
理由：如图，连接CQ，过点Q作QM⊥BP于M，作QN⊥BC于N，

∵QF为∠PFC的角平分线，△CPF为等腰直角三角形，
∴QF为PC的垂直平分线，
∴PQ=QC，
∵Q为∠FPC与∠PFC的角平分线的交点，
∴CQ平分∠FCP，
∵△CPF为等腰直角三角形，
∴∠FCP=∠FPC=45°，
∴∠QCP=∠QPC=22.5°，
∴△PQC中，∠PQC=135°，
∵在四边形QNBM中，QM⊥BP，QN⊥BC，∠ABC=45°，
∴∠MQN=135°，
∴∠MQN=∠PQC，
∴∠NQC=∠MQP，
又∵QC=QP，QM⊥BP，QN⊥BC，
∴△QPM≌△QCN（AAS），
∴QM=QN，
又∵QM⊥BP，QN⊥BC，
∴点Q一定在射线BD上．