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如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3,经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q,则线段PQ长度的最小值是()A.2B.125C.52D.22
题目详情
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/8d5494eef01f3a297513db799a25bc315d607ca9.jpg)
A.2
B.
12 |
5 |
C.
5 |
2 |
D.2
2 |
▼优质解答
答案和解析
线段PQ长度的最小值时,PQ为圆的直径,
如图,设QP的中点为F,圆F与AB的切点为D,连接FD、CF、CD,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/5882b2b7d0a20cf40387f76875094b36acaf9975.jpg)
∵圆F与AB相切,∴FD⊥AB,
∵AB=5,AC=4,BC=3,
∴∠ACB=90°,FC+FD=PQ,
∴CF+FD>CD,且PQ为圆F的直径,
∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时,PQ=CD有最小值,即CD为圆F的直径,
且S△ABC=
BC•CA=
CD•AB,
∴CD=
=
.
故选B
如图,设QP的中点为F,圆F与AB的切点为D,连接FD、CF、CD,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/5882b2b7d0a20cf40387f76875094b36acaf9975.jpg)
∵圆F与AB相切,∴FD⊥AB,
∵AB=5,AC=4,BC=3,
∴∠ACB=90°,FC+FD=PQ,
∴CF+FD>CD,且PQ为圆F的直径,
∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时,PQ=CD有最小值,即CD为圆F的直径,
且S△ABC=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴CD=
BC•AC |
AB |
12 |
5 |
故选B
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