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如图,在△ABC中,∠ABC=45°,点D在边BC上,∠ADC=60°,且BD=12CD.将△ACD以直线AD为轴做轴对称变换,得到△AC′D,连接BC′(Ⅰ)求证:BC′⊥BC;(Ⅱ)求∠C的大小.
题目详情
如图,在△ABC中,∠ABC=45°,点D在边BC上,∠ADC=60°,且BD=
CD.将△ACD以直线AD为轴做轴对称变换,得到△AC′D,连接BC′
(Ⅰ)求证:BC′⊥BC;
(Ⅱ)求∠C的大小.
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(Ⅰ)求证:BC′⊥BC;
(Ⅱ)求∠C的大小.
▼优质解答
答案和解析
证明:(Ⅰ)∵△AC'D是△ACD以AD为轴对称变换得到的,
∴△AC′D≌△ACD.
有C′D=CD,∠ADC′=∠ADC.
∵BD=
CD,∠ADC=60°,
∴BD=
C′D,∠BDC'=180°-∠ADC′-∠ADC=60°.
取C'D中点P,连接BP,则△BDP为等边三角形,△BC′P为等腰三角形,
有∠BC′D=
∠BPD=
∠BDC′=30°.
∴∠C'BD=90°,
即BC′⊥BC.
(Ⅱ)如图,过点A分别作BC,C'D,BC'的垂线,垂足分别为E,F,G.
∵∠ADC'=∠ADC,即点A在∠C′DC的平分线上,
∴AE=AF.
∵∠C'BD=90°,∠ABC=45°,
∴∠GBA=∠C′BC-∠ABC=45°,
即点A在∠GBC的平分线上,
∴AG=AE.
于是,AG=AF,则点A在∠GC′D的平分线上.
又∵∠BC′D=30°,有∠GC'D=150°.
∴∠AC′D=
∠GC′D=75°.
∴∠C=∠AC′D=75°.
∴△AC′D≌△ACD.
有C′D=CD,∠ADC′=∠ADC.
∵BD=
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∴BD=
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取C'D中点P,连接BP,则△BDP为等边三角形,△BC′P为等腰三角形,
有∠BC′D=
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∴∠C'BD=90°,
即BC′⊥BC.
(Ⅱ)如图,过点A分别作BC,C'D,BC'的垂线,垂足分别为E,F,G.
∵∠ADC'=∠ADC,即点A在∠C′DC的平分线上,
∴AE=AF.
∵∠C'BD=90°,∠ABC=45°,
∴∠GBA=∠C′BC-∠ABC=45°,
即点A在∠GBC的平分线上,
∴AG=AE.
于是,AG=AF,则点A在∠GC′D的平分线上.
又∵∠BC′D=30°,有∠GC'D=150°.
∴∠AC′D=
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∴∠C=∠AC′D=75°.
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