在△ABC中，∠BAC=90°，AB＜AC，M是BC边的中点，过点M作MP⊥MQ交AB于点P，交NC于点Q，试求BP2，PQ2，CQ2三者之间的数量关系，并证明你的结论．

Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB＜AC，M是BC边的中点，过点M作MP⊥MQ交AB于点P，交NC于点Q，试求BP²，PQ²，CQ²三者之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

PQ²=BP²+CQ²．
证明：延长QM至点D，使MD=MQ，连接PD、BD，BQ，CD，

∵BC、DQ互相平分，
∴四边形BDCQ为平行四边形，
∴BD∥CQ，BD=CQ（平行四边形的对边平行且相等）；
又∵∠BAC=90°，
∴∠PBD=90°，
∴PD²=BP²+BD²=BP²+CQ²，
∵PM垂直平分DQ，
∴PQ=PD，
∴PQ²=BP²+CQ²．