正三角形ABC中,D,E分别为AB,BC上的一个三等分点,且AE,CD交于点P,求证：BP垂直CD,用向量来证

Question

正三角形ABC中,D,E分别为AB,BC上的一个三等分点,且AE,CD交于点P,求证：BP垂直CD,用向量来证

Answer 1

三等分点有两个,应该指出是哪个,不然结论就不对了.
设 AD=1/3*AB ,BE=1/3*BC .



为书写方便,记 AB=a ,AC=b ,并设 |a|=|b|=1 .
因为 C、D、P 三点共线,因此 AP=xAD+(1-x)AC=x/3*a+(1-x)b ,
而 AE=AB+BE=AB+1/3*(AC-AB)=2/3*a+1/3*b ,
因为 AP、AE 共线,因此 x/3=2(1-x) ,
解得 x=6/7 ,

所以 BP=AP-AB= -5/7*a+1/7*b ,
而 CD=AD-AC=1/3*a-b ,
且 a*b=AB*AC=cos60°=1/2 ,
所以,BP*CD=(-5/7*a+1/7*b)*(1/3*a-b)
= -5/21-1/7+(1/21+5/7)/2
=0 ,
所以,BP丄CD .