直角三角形ABC中,角ACB=90度,CD垂直AB于D,AF平分角BAC,交CD于E,1、求证CE=CF.2、平移三角形ADE,使点E落在边BC上点E'处,试说明BE',CF的数量关系.

Question

直角三角形ABC中,角ACB=90度,CD垂直AB于D,AF平分角BAC,交CD于E,1、求证CE=CF.
2、平移三角形ADE,使点E落在边BC上点E'处,试说明BE',CF的数量关系.

Answer 1

（1）根据平分线的定义可知∠CAF=∠EAD,再根据已知条件以及等量代换即可证明CE=CF,
（2）根据题意作辅助线过点E作EG⊥AC于G,根据平移的性质得出D′E′=DE,再根据已知条件判断出△CEG≌△BE′D′,可知CE=BE′,再根据等量代换可知BE′=CF．
（1）证明：∵AF平分∠CAB,
∴∠CAF=∠EAD,
∵∠ACB=90°,
∴∠CAF+∠CFA=90°,
∵CD⊥AB于D,
∴∠EAD+AED=90°,
∴∠CFA=∠AED,
∵∠AED=∠CEF,
∴∠CFA=∠CEF,
∴CE=CF；
（2）BE′=CF．
证明：如图,过点E作EG⊥AC于G,
又∵AF平分∠CAB,ED⊥AB,
∴ED=EG．
由平移的性质可知：D′E′=DE,
∴D′E′=GE,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠DCB=90°
∵CD⊥AB于D,
∴∠B+∠DCB=90°,
∴∠ACD=∠B,
在Rt△CEG与Rt△BE′D′中,,
∴△CEG≌△BE′D′,
∴CE=BE′,
由（1）可知CE=CF,
∴BE′=CF