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高二几何在棱长为a的正方体ABCD一A1B1C1D1中,MN分别是棱A1B1`B1C1的中点,求b1到平面CMN的距离尽量用线面垂直
题目详情
高二几何
在棱长为a的正方体ABCD一A1B1C1D1中,MN分别是棱A1B1`B1C1的中点,求b1到平面CMN 的距离
尽量用线面垂直
在棱长为a的正方体ABCD一A1B1C1D1中,MN分别是棱A1B1`B1C1的中点,求b1到平面CMN 的距离
尽量用线面垂直
▼优质解答
答案和解析
在棱长为a的正方体ABCD一A1B1C1D1中,MN分别是棱A1B1、B1C1的中点,求B1到平面CMN 的距离
解析：∵正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a,M、N分别是棱A1B1、B1C1的中点
三棱锥C-MNB1体积=1/3*S(⊿MNB1)*CC1=1/3*1/8a^2*a=a^3/24
∵三棱锥C-MNB1体积=三棱锥B1-MNC体积
∴MN=√2/2a,NC=√5/2a,MC=3/2a
由海伦公式S=√[s(s-MN)(s-NC)(s-MC)] s=1/2(MN+NC+MC)=(√2+√5+3)/4a
代入得S(⊿MNB)=3/8a^2
三棱锥B1-MNC体积=1/3*S(⊿MNC)*h=1/8a^2*h=1/24a^3
∴h=1/3a
解析：∵正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a,M、N分别是棱A1B1、B1C1的中点
三棱锥C-MNB1体积=1/3*S(⊿MNB1)*CC1=1/3*1/8a^2*a=a^3/24
∵三棱锥C-MNB1体积=三棱锥B1-MNC体积
∴MN=√2/2a,NC=√5/2a,MC=3/2a
由海伦公式S=√[s(s-MN)(s-NC)(s-MC)] s=1/2(MN+NC+MC)=(√2+√5+3)/4a
代入得S(⊿MNB)=3/8a^2
三棱锥B1-MNC体积=1/3*S(⊿MNC)*h=1/8a^2*h=1/24a^3
∴h=1/3a
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