如图所示，在⊙O上半圆中，AC=a，CB=b，CD⊥AB，EO⊥AB，请你利用CD≤OD≤CE写出一个含有a，b的不等式ab≤a+b2≤a2+b22ab≤a+b2≤a2+b22．

Question

如图所示，在⊙O上半圆中，AC=a，CB=b，CD⊥AB，EO⊥AB，请你利用CD≤OD≤CE写出一个含有a，b的不等式

√(ab)≤(a+b)/(2)≤√((a2+b2)/(2))

√(ab)≤(a+b)/(2)≤√((a2+b2)/(2))

．

Answer 1

连接AD，BD，OD，由直径所对的圆周角为直角得，∠ADB=90°，
∵AC=a，CB=b，∴OD=(AB)/(2)＝(a+b)/(2)，
在直角三角形DAC中，tan∠DAC=(CD)/(AC)＝(CD)/(a)，
在直角三角形BCD中，tan∠DBC=(CD)/(BC)＝(CD)/(b)，
又∠DAC+∠DBC=90°，
∴(CD)/(a)•(CD)/(b)＝1，CD=√(ab)，
由于CD≤OD，故√(ab)≤(a+b)/(2)，
∵EO⊥AB，EO=(a+b)/(2)，
∴EC=√(EO2+OC2)=√(((a+b)2)/(4)+(a−(a+b)/(2))2)=√((a2+b2)/(2))
又EO=OD≤EC，
∴(a+b)/(2)≤√((a2+b2)/(2))，
∴√(ab)≤(a+b)/(2)≤√((a2+b2)/(2))．
故答案为：√(ab)≤(a+b)/(2)≤√((a2+b2)/(2))．