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(2009•重庆)已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=2,OC=3.过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D,连接DC,过点D作DE⊥DC,交OA于点E.(1
题目详情
(2009•重庆)已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=2,OC=3.过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D,连接DC,过点D作DE⊥DC,交OA于点E.
(1)求过点E、D、C的抛物线的解析式;
(2)将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后,角的一边与y轴的正半轴交于点F,另一边与线段OC交于点G.如果DF与(1)中的抛物线交于另一点M,点M的横坐标为
,那么EF=2GO是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(3)对于(2)中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求过点E、D、C的抛物线的解析式;
(2)将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后,角的一边与y轴的正半轴交于点F,另一边与线段OC交于点G.如果DF与(1)中的抛物线交于另一点M,点M的横坐标为
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(3)对于(2)中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)由已知,得C(3,0),D(2,2),
∵∠ADE=90°-∠CDB=∠BCD,
∴AD=BC.AD=2.
∴E(0,1).(1分)
设过点E、D、C的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0).
将点E的坐标代入,得c=1.将c=1和点D、C的坐标分别代入,
得
(2分)
解这个方程组,得
故抛物线的解析式为y=-
x2+
x+1;(3分)
(2)EF=2GO成立.(4分)
∵点M在该抛物线上,且它的横坐标为
,
∴点M的纵坐标为
.(5分)
设DM的解析式为y=kx+b1(k≠0),将点D、M的坐标分别代入,
得
,
解得
∴DM的解析式为y=-
x+3.(6分)
∴F(0,3),EF=2.(7分)
过点D作DK⊥OC于点K,则DA=DK.
∵∠ADK=∠FDG=90°,
∴∠FDA=∠GDK.
又∵∠FAD=∠GKD=90°,
∴△DAF≌△DKG.
∴KG=AF=1.
∵OC=3,
∴GO=1.(8分)
∴EF=2GO;
(3)∵点P在AB上,G(1,0),C(3,0),
则设P(t,2).
∴PG2=(t-1)2+22,PC2=(3-t)2+22,GC=2.
①PG=PC,则(t-1)2+22=(3-t)2+22,
解得t=2.
∴P(2,2),此时点Q与点P重合,
∴Q(2,2).(9分)
②若PG=GC,则(t-1)2+22=22,
解得t=1,
∴P(1,2),
此时GP⊥x轴.GP与该抛物线在第一象限内的交点Q的横坐标为1,
∴点Q的纵坐标为
,
∴Q(1,
).(10分)
③若PC=GC,则(3-t)2+22=22,解得t=3,
∴P(3,2),此时PC=GC=2,△PCG是等腰直角三角形.
过点Q作QH⊥x轴于点H,则QH=GH,设QH=h,
∴Q(h+1,h).
∴−
(h+1)2+
(h+1)+1=h.
解得h1=
,h2=-2(舍去).
∴Q(
,
).(12分)
综上所述,存在三个满足条件的点Q,即Q(2,2)或Q(1,
)或Q(
,
).
∵∠ADE=90°-∠CDB=∠BCD,
∴AD=BC.AD=2.
∴E(0,1).(1分)
设过点E、D、C的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0).
将点E的坐标代入,得c=1.将c=1和点D、C的坐标分别代入,
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解这个方程组,得
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故抛物线的解析式为y=-
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(2)EF=2GO成立.(4分)
∵点M在该抛物线上,且它的横坐标为
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∴点M的纵坐标为
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设DM的解析式为y=kx+b1(k≠0),将点D、M的坐标分别代入,
得
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解得
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∴DM的解析式为y=-
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∴F(0,3),EF=2.(7分)
过点D作DK⊥OC于点K,则DA=DK.
∵∠ADK=∠FDG=90°,
∴∠FDA=∠GDK.
又∵∠FAD=∠GKD=90°,
∴△DAF≌△DKG.
∴KG=AF=1.
∵OC=3,
∴GO=1.(8分)
∴EF=2GO;
(3)∵点P在AB上,G(1,0),C(3,0),
则设P(t,2).
∴PG2=(t-1)2+22,PC2=(3-t)2+22,GC=2.
①PG=PC,则(t-1)2+22=(3-t)2+22,
解得t=2.
∴P(2,2),此时点Q与点P重合,
∴Q(2,2).(9分)
②若PG=GC,则(t-1)2+22=22,
解得t=1,
∴P(1,2),
此时GP⊥x轴.GP与该抛物线在第一象限内的交点Q的横坐标为1,
∴点Q的纵坐标为
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∴Q(1,
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③若PC=GC,则(3-t)2+22=22,解得t=3,
∴P(3,2),此时PC=GC=2,△PCG是等腰直角三角形.
过点Q作QH⊥x轴于点H,则QH=GH,设QH=h,
∴Q(h+1,h).
∴−
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解得h1=
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∴Q(
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综上所述,存在三个满足条件的点Q,即Q(2,2)或Q(1,
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