我那个写出来了和答案一样,但是还是不太明白你说的那个东西为什么只有在替换的那个东西在展开点和x的极限一样的时候才能直接做代换呢?您能给个例子极限不一样就不能直接替换的例子

Question

我那个写出来了和答案一样,但是还是不太明白你说的那个东西
为什么只有在替换的那个东西在展开点和x的极限一样的时候才能直接做代换呢?您能给个例子极限不一样就不能直接替换的例子吗?（展开点是指那个泰勒展开式里的那个a吧?初学泰勒,请指教,）

Answer 1

比如exp(2x)要在x=0展开的话,你就可以把2x看成t,然后在t=0展开,因为x=0点就是t=0点二者是等价的：
exp(2x)=exp(t)=Sum (n从0到无穷) t^n / n!= Sum (n从0到无穷) t(2x)^n / n!
但是如果要在x=1展开,而替换的东西t=2x 在x=1处是等于2的,所以你这个时候要是还想把exp(t)在t=1展开,显然就是错的.此时你应该在t=2处展开,而不是在t=1.明白了吗?我虽然说的是极限一样,但那是严格的说法,你不用管那么多,你就看替换变量t和x是否在展开点是一个数值就行了.在x=0时二者的值相同,你就可以直接替换；在x=1时二者不同,你就不能这么做,必须换展开点才行.这里举的exp的例子,其他函数都是一样的.