椭圆方程为x2/4+y2/3=1若斜率为1的直线和椭圆相交AB,求AOB面积最大值和这时直线L的方程

Question

椭圆方程为x2/4+y2/3=1
若斜率为1的直线和椭圆相交AB,求AOB面积最大值和这时直线L的方程

Answer 1

设：A（x1,y1）、B(x2,y2）
直线：y=x+m 代入椭圆
得：3x²+4（x+m）²=12
7x²+8mx+4m²-12=0
由韦达定理
得：x1+x2=-8m/7
x1x2=(4m²-12)/7
(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=64m²/49-4(4m²-12)/7=(336-48m²)/49
y1-y2=x1+m-x2-m=x1-x2
｜AB｜²=(x1-x2)²+(y1-y2)²=2(x1-x2)²=2(336-48m²)/49
点O到直线AB的距离为d
d=｜m｜/√2
SΔAOB=(1/2)｜AB｜*d
=｜m｜√(2(336-48m²)/49)/2√2
=√m²(336-48m²)/14
=√[-48(m²-7/2)²+588]/14
当m²=7/2时,SΔaob取得最大值√588/12=√3/6
m=±√14/2
即SΔAOB最大值为√3/6,此时的直线L方程：y=x±√14/2