斐波那契数列通项公式的证明谁能用数学归纳法证明这个通项公式的?

Question

斐波那契数列通项公式的证明
谁能用数学归纳法证明这个通项公式的?

Answer 1

证明方法如下：验证我就不说了,假设对小或等于n的自然数k,a（k）={[(1＋sqrt(5))/2]^k － [(1－sqrt(5))/2]^k }/sqrt(5)都成立,当n=k+1时,就有
a（k+1）=a（k）+a（k-1）
={[(1＋sqrt(5))/2]^k － [(1－sqrt(5))/2]^k }/sqrt(5)+{[(1＋sqrt(5))/2]^（k-1） － [(1－sqrt(5))/2]^（k-1 ）}/sqrt(5)
={[(1＋sqrt(5))/2]^（k-1）[（3+sqrt（5））/2] － [(1－sqrt(5))/2]^(k-1)）[（3-sqrt（5））/2] }/sqrt(5)
={[(1＋sqrt(5))/2]^（k-1）[（6+2sqrt（5））/4] － [(1－sqrt(5))/2]^(k-1)）[（6-2sqrt（5））/4] }/sqrt(5)
={[(1＋sqrt(5))/2]^（k-1）[（1+sqrt（5））/2] ^2 － [(1－sqrt(5))/2]^(k-1)[（1-sqrt（5））/2] ^2}/sqrt(5)
={[(1＋sqrt(5))/2]^（k+1）－ [(1－sqrt(5))/2]^(k+1)}/sqrt(5)
这就说明公式对n=k+1也成立.