等差数列前n项平方和数列1,2,3,…,n各项的平方和是多少?求公式及看好不光要公式

Question

等差数列前n项平方和
数列1,2,3,…,n各项的平方和是多少?求公式 及
看好 不光要公式

Answer 1

利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
.
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1
把这n个等式两端分别相加,得
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n
由于1+2+3+...+n=n(n+1)/2
代人上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得：
1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
当然也可以用数学归纳法等方法做.