对于给定的正整数n和正数R，若等差数列a1，a2，a3，…满足a21+a22n+1≤R，则S=a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a4n+1的最大值为

Question

对于给定的正整数n和正数R，若等差数列a₁，a₂，a₃，…满足a

2

1

+

a

2 2n+1

≤R，则S=a_2n+1+a_2n+2+a_2n+3+…+a_4n+1的最大值为___．

Answer 1

数列{a_n}等差数列，
∴a_2n+1+a_4n+1=a_2n+2+a_4n=…2a_3n+1，
∴S=（2n+1）a_3n+1，
∵a

2

1

+

a

2 2n+1

=(a3n+1-3nd)2+(a3n+1-nd)2≤R，
化简得：2

a

2 3n+1

-8dna_3n+1+10n²d²-R≤0，
关于d的二次方程，10n²d²-8dna_3n+1+2

a

2 3n+1

-R≤0，有解，
∴△=(-8na3n+1)2-40n²（2

a

2 3n+1

-R）≥0，
化简得：8

a

2 3n+1

-10

a

2 3n+1

+5R≥0，
∴

a

2 3n+1

≤(5R)/(2)，
∴-(√(10R))/(2)≤a3n+1≤(√(10R))/(2)，
S≤((2n+1)√(10R))/(2)．
故答案为：((2n+1)√(10R))/(2)．