求1的3次方,2的3次方,3的3次方...,n的3次方的前N项和.怎么解,这是等差和等比数列的结合吗?

Question

求1的3次方,2的3次方,3的3次方...,n的3次方的前N项和.怎么解,这是等差和等比数列的结合吗?

Answer 1

An=n的3次方 的前n项和是1^3 + 2^3 + …… n^3 = [n (n+1) / 2]^2=（1+2+……+n）^2我们知道：
　　0次方和的求和公式ΣN^0＝N 即1^0+2^0+...+n^0=n
　　1次方和的求和公式ΣN^1＝N(N+1)/2 即1^1+2^1+...+n^1=n(n+1)/2
　　2次方和的求和公式ΣN^2＝N(N+1)(2N+1)/6 即1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
　　取公式：(X+1)^4-X^4=4*X^3+6*X^2+4*X+1
　　系数可由杨辉三角形来确定
　　那么就有：
　　(N+1)^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1.(1)
　　N^4-(N-1)^4=4(N-1)^3+6(N-1)^2+4(N-1)+1.(2)
　　(N-1)^4-(N-2)^4=4(N-2)^3+6(N-2)^2+4(N-2)+1.(3)
　　.
　　2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1.(n)
　　.
　　于是(1)+(2)+(3)+.+(n)有
　　左边=(N+1)^4-1
　　右边=4(1^3+2^3+3^3+.+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+.+N^2)+4(1+2+3+.+N)+N
　　所以呢
　　把以上这已经证得的三个公式代入
　　4(1^3+2^3+3^3+.+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+.+N^2)+4(1+2+3+.+N)+N=(N+1)^4-1
　　得4(1^3+2^3+3^3+.+N^3)+N(N+1)(2N+1)+2N(N+1)+N=N^4+4N^3+6N^2+4N
　　移项后得 1^3+2^3+3^3+.+N^3=1/4 (N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N)
　　等号右侧合并同类项后得 1^3+2^3+3^3+.+N^3=1/4 (N^4+2N^3+N^2)
　　即
　　1^3+2^3+3^3+.+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2