已知数列{an}的各项均为正数，数列{bn}，{cn}满足bn=an+2an，cn=anan+12．（1）若数列{an}为等比数列，求证：数列{cn}为等比数列；（2）若数列{cn}为等比数列，且bn+1≥bn，求证：数列{an}为等比数列

Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，数列{b_n}，{c_n}满足b_n=(an+2)/(an)，c_n=a_na_n+1²．
（1）若数列{a_n}为等比数列，求证：数列{c_n}为等比数列；
（2）若数列{c_n}为等比数列，且b_n+1≥b_n，求证：数列{a_n}为等比数列．

Answer 1

证明：（1）因为数列{a_n}为等比数列，所以(an+1)/(an)=q（q为常数），
又因为c_n=a_na_n+1²．
所以(cn+1)/(cn)=(an+1•a2n+2)/(an•a2n+1)=q³为常数，所以数列{c_n}为等比数列；
（2）因为数列{c_n}是等比数列，所以(cn+1)/(cn)=q（q为常数），
所以(cn+1)/(cn)=(an+1•a2n+2)/(an•a2n+1)=(a2n+2)/(an•an+1)=q（q为常数），
则(a2n+2)/(an•an+1)=(a2n+4)/(an+2•an+3)，
所以(a2n+4)/(a2n+2)=(an+2•an+3)/(an•an+1)，
∵b_n=(an+2)/(an)，
故b_n+2²=b_n+1•b_n．
因为b_n+1≥b_n，所以b_n+2≥b_n+1，则b_n+2²≥b_n+1²≥b_n+1•b_n．
所以b_n+2=b_n+1=b_n．
∴(an+3)/(an+1)=(an+2)/(an)，即a_n+3=a_n+1•(an+2)/(an)．
因为数列{c_n}是等比数列，所以(cn+1)/(cn)=(cn+2)/(cn+1)，即(a2n+2)/(an•an+1)=(a2n+3)/(an+1•an+2)，
把a_n+3=a_n+1•(an+2)/(an)代入化简得a_n+1²=a_n•a_n+2，
所以数列{a_n}为等比数列．