随机向量矩阵的自协方差为什么是非负定的

Question

随机向量矩阵的自协方差为什么是非负定的

Answer 1

对任意的非零向量x=（x1 x2 x3....，xn），0<=E（(x1P1+x2P2+....xnPn)^2）
=x1^2E(P1^2)+x2^2E(P2^2)+...+xn^2E(Pn^2)
+2x1x2E(P1P2)+2x1x3E(P1P3)+...+2x1xnE(P1Pn)
+2x2x3E(P2P3)+...+2x2xnE(P2Pn)
+...+2x(n--1)xnE(P(n--1)Pn)
=(x1 x2 ....xn)Cov*(x1 x2....xn)^T
其中E是期望算子，Cov是协方差方阵。
由x的任意性知道Cov是半正定阵。